\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{times}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-grad} % For gradients
\usepackage{pst-plot} % For axes
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{subfig}
\usepackage{subfig}
\usepackage{cancel}
\usepackage{threeparttable}
\setlength{\parindent}{0pt}

\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}


\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\tgh}{th}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\cth}{cth}
\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\arsh}{arsh}
\DeclareMathOperator{\arch}{arch}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\arcth}{arcth}

\def\a{2}

\title{Szilárd testek sűrűségének mérése}
\date{2010.02.25}
\author{Balog Dániel}

\begin{document}
\maketitle
\textbf{Mérőtárs neve:}Dologh Bence\\
\textbf{Leadás időpontja: 2010.03.04}

\subsection*{A mérés célja:}
Ismeretlen anyagú testek sűrűségét szeretnénk megmérni. A sűrűséget közvetlenül nem lehet, így a tömeget és térfogatot mérjük.
\subsection*{Mérőeszközök:}
\begin{itemize}
  \item Tolómérő
  \item Mohr-Westphal mérleg
  \item Analitikai mérleg
  \item Csavarmikrométer

\end{itemize}

\subsection*{A mérés leírása:}
Az ismeretlen anyagú testek oldalait tolómérővel, a henger átmérőjét csavarmikrométerrel megmérjük, majd az analítikai mérleget használva a tömegüket is megállapítjuk. Ezekből az adatokból már kiszámítható a sűrűség. A Mohr-Westphal mérleggel való mérés előnye, hogy szabálytalan testekre is alkalmazható, itt azonban csupán a mérési eredmény ellenőrzése a cél.

\subsection*{Mért adatok:}
\begin{threeparttable}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
Testek & vörös test & világosszürke test & sötétszürke test\tnote{1}\\
  \hline
Méretek: & ~ & ~ & ~ \\
  \hline
$x~(mm)$ & $28.75$ & $29.3$ & $19.55$\\
  \hline
$y~(mm)$ &$15.5$ & $15.85$ & $13.7$ \\
  \hline
$z~(mm)$ &$15$ & $12.3$ & ~\\
  \hline
Tömeg: $(g)$ & $63.6065$ & 15.493 & 32. 13375\\ %???? mennyire pontis az analítikai?
  \hline
Mohr-Westphal mérleg & ~& ~ & ~\\
  \hline
tömeg: ($g$) & 7.26 & 15 & 8.62\\
  \hline
Lovasok\tnote{2} & 1/5/0 & 1/8/9\tnote{$\diamondsuit$} & 1/5/5\\
  \hline
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\item[\tnote{1}Ez hengeres, így átmérőt és magasságot lehet mérni]
\item[\tnote{2}nagy/közepes/kicsi]
\item[\tnote{$\diamondsuit$}Egy jelöléssel az egyensúly fölött volt a mérleg.]
\end{tablenotes}
\end{threeparttable}
%Térfogat ($mm^3$)
\subsection*{Hibaforrások:}
\begin{itemize}
  \item A Mohr-Westphal mérleg kiegyensúlyozott állapotában 1 jelöléssel az egyensúly fölött volt
  \item Az analítikai mérleg bizonytalansága 1 mg.
  \item A csavarmikrométer bizonytalansága 0.0005 mm.
\item A tolómérő bizonytalansága  0.025 mm.
\item A $\pi$-t 3.14-el számoltam, így ennek pontatlansága 0.0016
\end{itemize}
\subsection*{Kiértékelés:}

Az első mérésből származó térfogtoknál a relatív hiba az oldalak relatív hibájának összege.
$$\delta V= \frac{\Delta x}{x}+ \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta x}{x}$$
Ahol $V$ a test térfogata, $\delta V$ a térfogat realtív bizonytalansága, $\Delta x,y,z$ rendre a hosszúságmérés bizonytalansága.
$$\delta m=\frac{\Delta m}{m}$$
A tömegnél fellépő relatív hiba csak a műszer pontatlanságából adódik.

A sűrűség egyenlő $\rho=\frac{m}{v}$-vel, így ennek a pontatansága:
$$\delta \rho=\delta V +\delta m$$

A második méréssel nem közvetlenül a tömeget, hanem azt a tömeget mérjük, amivel együtt 20 gramm lesz.
$$m_2=20g-m_{\textrm{mért}}$$
A térfogatot hasonlóan, indirekt módon mértük. Ismert, hogy a felhajtóerő:
$$F=\rho_{\textrm{víz}}\cdot V_{\textrm{test}}\cdot g$$
A Mohr-Westphal mérleg legnagyobb lovasának tömege megegyezik $10 cm^3$ 20 $°C$ fokos víz tömegével, valamint a közepes lovas a nagyobb súlyának tizede a kicsi pedig százada.\\
A beállítás miatt a felhajtóerő megegyezik a lovasok tömegének és a gravitációs gyorsulásnak a szorzatával.
Az erőkarokat figyelembevéve:
$$\left(M_n\cdot a\cdot k + \frac{M_n}{10} \cdot b\cdot k + \frac{M_n}{100}\cdot c\cdot k\right)\cdot g=\rho_{\textrm{víz}}\cdot V_{\textrm{test}}\cdot g\cdot d\cdot k$$
Ahol $k$ az erőkar beosztásának egysége, $a,b,c$ sorra a mért adatok, $d=10$.
$$1\cancel{0} cm^3\cdot \cancel{\rho_{\textrm{víz}}} \cancel{g}\left( a\cdot \cancel{k} + \frac{1}{10} \cdot b\cdot \cancel{k} + \frac{1}{100}\cdot c\cdot \cancel{k}\right)=\cancel{\rho_{\textrm{víz}}}\cdot V_{\textrm{test}}\cdot \cancel{g}\cdot \cancel{10} \cdot \cancel{k}$$



\subsection*{Eredmény:}
A fenti számításokból az eredmény:\\
~\\
Hibák:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
  ~ &vörös &v. szürke &s. szürke \\
  \hline
  $\delta m$ & 0.000786\% & 0.0032272\% & 0.0015559\% \\
  \hline
  $\delta V$ & 0.4149135\% & 0.4463049\% & 0.2358847\% \\
  \hline
\end{tabular}
\\
~\\
Eredmények:\\
$
\displaystyle
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  ~& \textrm{vörös} & \textrm{v. szürke} & \textrm{s. szürke} \\
    \hline
 \textrm{ Analitkus} &  9.52\pm0.04 \frac{g}{cm^3} & 2.71\pm 0.012 \frac{g}{cm^3} & 7.81\pm0.011 \frac{g}{cm^3} \\
  \hline
  \textrm{Mohr-Westphal}& 8.49\frac{g}{cm^3} & 2.65 \frac{g}{cm^3} & 7.34 \frac{g}{cm^3} \\
  \hline
  \textrm{sejtés:} & \textrm{réz} & \textrm{alumínium} & \textrm{vas} \\
    \hline
  \textrm{táblázati érték:} & 8.96\frac{g}{cm^3} & 2.70\frac{g}{cm^3} & 7.86\frac{g}{cm^3}\\
    \hline
\end{array}
$
\subsection*{Diszkusszió}
Az eredményekből kitűnik, hogy az alumínium mérése a legpontosabb. Ennek a magyarázata az emberi tényezőben keresendő, mivel réz-alumínium-vas sorrendben mértem, így  réznél még rutintalan voltam a mérés alatt, hiszen akkor használtam a mérőeszközt először. Ezzel szemben a vas mérésénél már elfáradtam, ez különösen jól látható a Mohr-Westphal eredményén. Emellett a Mohr-Westphal pontatlanságát magyarázza az, hogy a mérleg kicsit kevesebbet mutatott.
Az analitikus mérlegnél a réz tömege kiugró a hiba, így amennyiben visszaszámolok a táblázati sűrűséggel, és a mért térfogattal, $60$ körüli értéket kapok. Így a mért adatnál a 3 gramm feltételezésem szerint elírás.\\

Ezt a mérést sokkal szerencsésebb analitikus úton mérni, hiszen szabályos testekkel dolgoztunk, így a Mohr-Westphal mérleg előnye kihasználatlan marad, azonban ugyanúgy nehezen kezelehető és könnyen elállítódik.
\end{document}
