\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{times}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks} %%
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pst-grad} % For gradients
\usepackage{pst-plot} % For axes
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{subfig}
\usepackage{cancel}
\usepackage{sagetex}
\usepackage{threeparttable}
\setlength{\parindent}{0pt}

\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}


\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\tgh}{th}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\cth}{cth}
\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\arsh}{arsh}
\DeclareMathOperator{\arch}{arch}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\arcth}{arcth}



\title{A dinamika alaptörvényeinek vizsgálata Fletcher-kocsival}
\date{2010.03.25}
\author{Balog Dániel}

\begin{document}
\maketitle
\textbf{Mérőtárs neve:}Dologh Bence\\
\textbf{Leadás időpontja: 2010.04.08}

\subsection*{A mérés célja:}
A méréssel Newton második törvényét $$F=m\cdot a$$ szeretnénk igazolni, ahol $F$ a testre ható erő, $m$ a test tömege, $a$  gyorsulás\\
\subsection*{Mérőeszközök:}
\begin{itemize}
\item Fletcher-kocsi
\item Súlyok
\item Fénykapus jeladó
\item Számítógép
\end{itemize}
\subsection*{A mérés leírása:}
\begin{pspicture}(0,-1.4567188)(4.0440626,1.4767188)
\definecolor{color4}{rgb}{0.8862745098039215,0.16470588235294117,0.16470588235294117}
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,0.56328124)(2.4,0.56328124)
\psline[linewidth=0.04cm](2.4,0.56328124)(2.4,-1.4367187)
\psline[linewidth=0.04cm](2.4,0.56328124)(2.6,0.7632812)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](2.6,0.7632812){0.2}
\psframe[linewidth=0.04,framearc=0.3,dimen=inner](1.6,1.0632813)(0.6,0.86328125)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=inner,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.04,hatchangle=0.0](2.84,-0.23671874)(2.74,-1.2367188)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=inner](0.8,0.7032812){0.1}
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=inner](1.36,0.7032812){0.1}
\psframe[linewidth=0.04,dimen=inner](1.56,1.2232813)(0.66,1.1232812)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=inner](1.56,1.3632812)(0.66,1.2632812)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.9320313,1.2682812){\textbf{A}}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.9520311,0.96828127){\textbf{B}}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.0820312,-0.5517188){\textbf{C}}
\psline[linewidth=0.04cm](2.4,0.7632812)(2.8,0.7632812)
\psline[linewidth=0.04cm](2.6,0.56328124)(2.6,0.9632813)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=color4](2.6,0.9632813)(1.6,0.9632813)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=color4](2.8,0.7632812)(2.8,-0.23671874)
\psarc[linewidth=0.04,linecolor=color4](2.6,0.7632812){0.2}{0.0}{90.0}
\end{pspicture} \\
A Fletcher kocsi (\textbf{A}) a pirossal jelölt, fénykapuval ellátott csigán (\textbf{B}) átvezetett kötéllel van összekötve a súlyokkal (\textbf{C}).
A kocsit terheletlenül ($500g$) illetve 1 vagy 2 darab $500g$-os súllyal terhelve lehet indítani, a súlytartó üres tömege $1g$ ezt 1-6 db $10g$-os súllyal lehet használni. Minden beállítást háromszor kell lemérni, a számítógép a fénykapus jeladó eredményei alapján felvesz egy egyenest, ennek meredeksége a gyorsulás. 
\subsection*{Mért adatok:}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
~ & \multicolumn{3}{|c|}{$500g$} & \multicolumn{3}{|c|}{$1000g$} & \multicolumn{3}{|c|}{$1500g$}\\
\hline
$11g$ & 0.1709 & 0.1695 & 0.1706 & 0.0793 & 0.0782 & 0.0779 & 0.0405 & 0.0395 & 0.0398\\
\hline
$21g$ & 0.3553 & 0.3553 & 0.3477 & 0.1714 & 0. 1696 & 0.1689 & 0.1002 & 0.0974 & 0.1046 \\
\hline
$31g$ & 0.5239 & 0.5223 & 0.5198 & 0.2623 & 0.2596 & 0.2497 & 0.1555 & 0.1706 & 0.1684 \\
\hline
$41g$ & 0.6933 & 0.6943 & 0.6909 & 0.3535 & 0.3438 & 0.3464 & 0.2177 & 0.2181 & 0.2256 \\
\hline
$51g$ & 0.8463 & 0.8469 & 0.8472 & 0.4371 & 0.4364 & 0.4381 & 0.2956 & 0.2939 & 0.2911 \\
\hline
$61g$ & 1.0053 & 1.0061 & 1.0093 & 0.5180 & 0.5265 & 0.5160 & 0.3469 & 0.3492 & 0.3532 \\
\hline
\end{tabular}
\subsection*{Kiértékelés:}
A kocsi síne vízszintes, így a mérés előtt rá ható erők eredője $\sum F=0$, a súlyokra $F_g=m\cdot g$ nehézségi erő hat. Amikor összekötjük kocsit a súlyokkal, a kötél vízszintes irányú erővel hat rá. Ez abból adódik, hogy a kötél \textit{majdnem teljesen} nyújthatatlan, így a (\textbf{C}) test gyorsulása meg kell hogy egyezzen az (\textbf{A}) test gyorsulásával. A rendszerben csak az $F_g$ hoz létre gyorsulást, a két test pedig a kötél miatt azonos sebességgel mozog, tehát:
$$F_g=\sum m \cdot a$$
A kerekek tehetetlenségi nyomtékát plusz súlyként érdemes figyelembe venni, ez a tömeg $m_{\textrm{korrekció}}=18g$.\\
A grafikon x tengelyén a húzótömeg és a gravitációs gyorsulás szorzatát ábrázolom $x=F_g=m\cdot g$\\
Az y tengelyen az összes tömeg és a mért gyorsulás szorzatát $(M_{\textrm{kocsi}}+m_{\textrm{húzósúly}}+m_{\textrm{korrekció}})\cdot a$
Ekkor az egyes tömegek x koordinátáihoz tartozó y értékek:\\
~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
x & $500g$ & $1000g$ & $1500g$\\
\hline
\sage{N(0.011*9.81,digits=4)} & \sage{N(((0.1709+0.1695+0.1706)/3)*(0.5+0.018+0.011),digits=3)} & 
\sage{N(((0.0793 + 0.0782 + 0.0779)/3)*(1+0.018+0.011),digits=3)} & 
\sage{N(((0.0405 + 0.0395 + 0.0398)/3)*(1.5+0.018+0.011),digits=3)}\\%ok
\hline
\sage{N(0.021*9.81,digits=4)} & 
\sage{N(((0.3553 + 0.3553 + 0.3477)/3)*(0.5+0.018+0.021),digits=4)} & 
\sage{N(((0.1714 + 0.1696 + 0.1689)/3)*(1+0.018+0.021),digits=4)} & 
\sage{N(((0.1002 + 0.0974 + 0.1046)/3)*(1.5+0.018+0.021),digits=4)} \\%ok
\hline
\sage{N(0.031*9.81,digits=4)} & 
\sage{N(((0.5239 + 0.5223 + 0.5198)/3)*(0.5+0.018+0.031),digits=4)} & 
\sage{N(((0.2623 + 0.2596 + 0.2497)/3)*(1+0.018+0.031),digits=4)} & 
\sage{N(((0.1555 + 0.1706 + 0.1684)/3)*(1.5+0.018+0.031),digits=4)} \\
\hline
\sage{N(0.041*9.81,digits=4)} & 
\sage{N(((0.6933 + 0.6943 + 0.6909)/3)*(0.5+0.018+0.041),digits=4)} & 
\sage{N(((0.3535 + 0.3438 + 0.3464)/3)*(1+0.018+0.041),digits=4)} & 
\sage{N(((0.2177 + 0.2181 + 0.2256)/3)*(1.5+0.018+0.041),digits=4)} \\
\hline
\sage{N(0.051*9.81,digits=4)} & 
\sage{N(((0.8463 + 0.8469 + 0.8472)/3)*(0.5+0.018+0.051),digits=4)} & 
\sage{N(((0.4371 + 0.4364 + 0.4381)/3)*(1+0.018+0.051),digits=4)} & 
\sage{N(((0.2956 + 0.2939 + 0.2911)/3)*(1.5+0.018+0.051),digits=4)} \\
\hline
\sage{N(0.061*9.81,digits=4)} & 
\sage{N(((1.0053 + 1.0061 + 1.0093)/3)*(0.5+0.018+0.061),digits=4)} & 
\sage{N(((0.5180 + 0.5265 + 0.5160)/3)*(1+0.018+0.061),digits=4)} & 
\sage{N(((0.3469 + 0.3492 + 0.3532)/3)*(1.5+0.018+0.061),digits=4)} \\
\hline
\end{tabular}\\
Az ábra a harmadik oldalon található.
\subsection*{Diszkusszió}
Az $F_i=m_i\cdot a_i$ összefüggés a tömeg növekedésével egyre kevésbé teljesül. Az egyenes linearitása megmarad, de a függvényt $x + b$ alakban leírva a tömeg növekedésével egyre jelentősebb a b. Ez azt jelenti, hogy van egy a kocsi tömegétől függő külső erő, ami miatt eltérés tapasztalható. Szerintem ez a súlódás, hiszen ez lineárisan változik a kocsi tömegének függvényében. Így szerintem a helyes egyenlet:
$$\sum M\cdot a=m_{\textrm{húzósúly}}\cdot g - F_s$$
Ahol $F_s$ nagyrészt a kocsi gördülési súrlódása.
$$M_{\textrm{kocsi}}\cdot \mu_g$$


\newpage
\def\data{
0.1079 0.0901
0.2060 0.1901
0.3041 0.2866
0.4022 0.3873
0.5003 0.4818
0.5984 0.5830
}
\def\datb{
0.1079 0.0807
0.2060 0.1766
0.3041 0.2698
0.4022 0.3684
0.5003 0.4674
0.5984 0.5613
}
\def\datc{
0.1079 0.0611
0.2060 0.1550
0.3041 0.2553
0.4022 0.3437
0.5003 0.4606
0.5984 0.5523
}

\psset{xunit=1,yunit=1}
\begin{pspicture}(1.5,20.2)(0,0)
{\psaxes[linewidth=0.04,ticksize=0.10583333cm,dx=1.50cm,dy=1.5cm,Dy=0.05,Dx=0.05]{->}(0,0)(0,0)(19,19)}
\psplot[linewidth=0.02cm,yunit=1cm,xunit=1cm,linecolor=red]{0.5}{18}{x -0.5000 add }%20
\psplot[linewidth=0.02cm,yunit=1cm,xunit=1cm,linecolor=blue]{0.9735}{18}{x -0.9735 add }%30
\psplot[linewidth=0.02cm,yunit=1cm,xunit=1cm,linecolor=green]{1.4545}{18}{x -1.4545 add } %45
\psplot[linewidth=0.02cm,yunit=1cm,xunit=1cm,linecolor=black]{0}{18}{x} %45° 

\listplot[plotstyle=dots,yunit=30cm,xunit=30cm,dotscale=0.75,linecolor=red]{\data}
\listplot[plotstyle=dots,yunit=30cm,xunit=30cm,dotscale=0.75,linecolor=blue]{\datb}
\listplot[plotstyle=dots,yunit=30cm,xunit=30cm,dotscale=0.75,linecolor=green]{\datc}
  \uput[-90](9,-1){\textbf{$m_{\textrm{húzósúly}}\cdot g$ [$N$]}}
  \rput{90}(-1.6,9.5){\textbf{$\sum M_i\cdot a_i$ [$N$]}}
\end{pspicture}


\end{document}
