\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{times}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks} %%
\usepackage{epsfig}
\usepackage{sagetex}
\usepackage{pst-grad} % For gradients
\usepackage{pst-plot} % For axes
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{subfig}
\usepackage{cancel}
\usepackage{threeparttable}
\setlength{\parindent}{0pt}

\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}


\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\tgh}{th}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\cth}{cth}
\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\arsh}{arsh}
\DeclareMathOperator{\arch}{arch}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\arcth}{arcth}



\title{Folyadékok sűrűségének mérése}
\date{2010.04.22}
\author{Balog Dániel}

\begin{document}
\maketitle
\textbf{Mérőtárs neve:}Dologh Bence\\
\textbf{Mérés időpontja: 2010.04.15.}

\subsection*{A mérés célja:}
Különböző folyadékokat összekeverve azt tapasztaljuk, hogy a közös térfogatuk kisebb mint a folyadékok külön térfogatának összege. Ennek következtében a sűrűségük sem azonos az elméleti modellel \textit{(ún. ideális elegy)} A mérés célja az, hogy különböző alkohol víz elegyek sűrűségének \textit{(kétféle)} megmérésével megvizsgáljuk az ideális elegytől való eltérésüket.
\subsection*{Mérőeszközök:}
\begin{itemize}
\item Mohr-Westphal mérleg 
\item Közlekedőedények
\item 7 féle különböző arányú alkohol/víz keverék
\item mérőszalag
\end{itemize}

\subsection*{A mérés leírása:}
Mérés a Mohr-Westphal mérleggel:\\
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\begin{pspicture}(0,-1.7448355)(5.3804827,1.65)
\definecolor{color124}{rgb}{0.3411764705882353,0.3411764705882353,1.0}
\definecolor{color164}{rgb}{0.08627450980392157,0.9568627450980393,0.9254901960784314}
\definecolor{color164b}{rgb}{0.47843137254901963,0.47843137254901963,0.9921568627450981}
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=hlines*,hatchwidth=0.02,hatchangle=0.0](0.5,1.65)(0.1,0.75)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=middle,fillstyle=solid](2.8,0.85)(0.0,0.65)
\psline[linewidth=0.04cm](0.3,1.25)(1.1,1.25)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=middle](4.6928234,0.35)(0.5928236,0.2)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=middle,shadow=true,fillstyle=solid,fillcolor=color124](4.6928234,-1.45)(0.5928236,0.2)
\psframe[linewidth=0.04,linecolor=color124,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color124](5.2856474,-0.25)(4.1,-1.45)
\psline[linewidth=0.04cm](5.2856474,0.35)(5.2856474,-1.45)
\psline[linewidth=0.04cm](4.1,0.35)(4.1,-1.45)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=middle,fillstyle=solid,fillcolor=color124](4.6928234,-0.25)(0.5928236,0.2)
\psline[linewidth=0.04cm](4.7,1.15)(4.7,-0.65)
\psframe[linewidth=0.06,linecolor=color164,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color164b](4.9,-0.65)(4.5,-1.45)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer,shadow=true,fillstyle=solid](2.7,-1.35)(1.2,0.3)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=middle,fillstyle=solid](2.9,0.95)(2.5,-1.25)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=middle,fillstyle=solid](4.9,1.35)(1.9,1.15)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid](2.0,1.55)(1.1,0.95)
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](2.978719,1.3127689)}
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](3.278719,1.3127689)}
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](3.578719,1.3127689)}
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](3.8787189,1.3127689)}
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](4.178719,1.3127689)}
\rput(-0.05870976, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](4.4787188,1.3127689)}
\rput(-0.058709454, 0.057170052){\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-179.81337,dotstyle=triangle*](4.778719,1.3127689)}
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid](4.8,1.05)(4.6,0.65)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid](2.7,1.05){0.14}
\end{pspicture}  \\
\end{wrapfigure}
A mérés alapja az, hogy a mérleg egyensúlyban van, amenyiben a súly a levegőben lóg. Ha azonban vízbe merítjük, a 
súlyra hatni fog a felhajtóerő, ami a sűrűséggel arányos\footnote{$F_s=V\varrho~g$ }
Minden mérést ugyanazzal a testtel végzünk el, \textit{- tehát térfogat, és a gravitációs erő állandó -} így megkapjuk az egyes oldatok vízhez viszonyított sűrűségét. A felhaj- tóerő nagyságát szeretnénk kimérni, ekkor a mérleg lovasaival ismét egyensúlybe kell hozni a mérleget. A lovasok forgatónyomatékának aránya elégséges a vízhez viszonyított sűrűség meghatározásához. A számszerű értékekhez azonban ismerni kell a víz sűrűségét.\\
\newpage
Mérés a közlekedőedényekkel:\\
\begin{wrapfigure}{l}{0.17\textwidth}
\begin{pspicture}(0,-1.3)(2.8790624,1.32)
\definecolor{color103d}{rgb}{0.33725490196078434,0.33725490196078434,1.0}
\psframe[linewidth=0.02,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color103d](2.4,-1.4)(1.4,-1.6)
\psframe[linewidth=0.02,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color103d](1.0,-1.4)(0.0,-1.6)
\psbezier[linewidth=0.04,doubleline=true,doublesep=0.08](0.4,-1.4)(0.4,1.0)(0.4,1.0)(1.2,1.0)(2.0,1.0)(2.0,1.0)(2.0,-1.4)
\psline[linewidth=0.04cm,doubleline=true,doublesep=0.08,doublecolor=color103d](2.0,-1.4)(2.0,-0.4)
\psline[linewidth=0.04cm,doubleline=true,doublesep=0.08](1.2,1.04)(1.2,1.6)
\psline[linewidth=0.04cm](1.4,1.4)(0.8,1.4)
\psline[linewidth=0.04cm](0.8,1.6)(0.8,1.2)
\psline[linewidth=0.04cm,doubleline=true,doublesep=0.08,doublecolor=color103d](0.4,-1.4)(0.4,-0.6)
\psline[linewidth=0.04cm,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{<->}(2.2,-0.4)(2.2,-1.4)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer](2.4,-1.2)(1.4,-1.6)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer](1.0,-1.2)(0.0,-1.6)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.5045311,-0.895){$h$}
\end{pspicture} \\
\end{wrapfigure}
A méréshez egy U alakú csövet, két mintatartó edényt \textit{(küvetta)} és egy orvosi \mbox{fecs-} kendőt használunk. Az egyikbe az egész mérés folyamán desztillált vizet használunk, a másikba öntjük a vizsgálandó anyagot. Amikor a fecskendőt kihúzzuk, az \mbox{üveg-} csőben lecsökken a nyomás, emiatt megemelkedik a víz, és a mért folyadékelegy szintje. A külső légnyomás egyenlő a belső légnyomás és a folyadák hidrosztatikai nyomásának összegével. Mindkét csőben ugyanaz a belső gáz nyomása, és a külső légnyomás is azonos, tehát $$\varrho_e h_e=\varrho_v h_v\Rightarrow \varrho_e=\frac{h_v}{h_e}\varrho_v$$
A mérés során a folyadékoszlopok magasságát kell mérni\footnote{Én a két jelzőt megfelelő magasságra beállítva az egyik aljától a másik tetejéig mértem, hiszen így sokkal biztosabb a mérési pont, de minden mért adatból ki kell vonni a jelző magasságát, ami $h_j= 1.8 cm$}, ebből lehet a sűrűségre következtetni.\\
\subsection*{Mért adatok:}
\begin{tabular}{|c||c|c|c||c|c|}
\hline
~ &\multicolumn{3}{|c||}{Mohr-Westphal} & \multicolumn{2}{|c|}{Közlekedőedények}\\
\hline
alkohol/víz & nagy & közepes & kicsi & desztvíz $[cm]$ & oldat $[cm]$\\
\hline
0:1 & 10 & 0 & 0 & \cancel{0} & \cancel{0} \\
\hline
1:9 & 9 & 9 & 5 & 44.7 & 45.4\\
\hline
3:7 & 9 & 7 & 0 & 43.2 & 44.9\\
\hline
1:1 & 9 & 3 & 9 & 46.2 & 49.4\\
\hline
7:3 & 8 & 8 & 9 & 47.1 & 53.1\\
\hline
9:1 & 8 & 4 & 1 & 47.8 & 56.6\\
\hline
1:0 & 8 & 1 & 0 & 44 & 55.7\\
\hline
\end{tabular}
\subsection*{Kiértékelés:}
A Mohr-Westphal mérleg desztillált vízzel való "kalibráló" mérésnél a legnagyobb lovast a tizedik rovátkába helyezve egyensúlyban volt, így használható a víz sűrűségének "táblázati" értéke, ami $\varrho_v= 1 g/cm^3$\\
$k$-val jelölve az erőkar hosszát $i$-indexel a méretét \textit{(L/M/S jelentése nagy/közepes/kicsi)}, és ismerve, hogy a súlyok $1:1/10:1/100$ tömegarányúak, a keresett sűrűséhek kiszámításához használandó képlet:
$$\varrho_e=\frac{\overbrace{1k_L+0.1k_M+0.01k_S}^{\textrm{elegy}}}{\underbrace{1k_L+0.1k_M+0.01k_S}_{\textrm{víz}}}\cdot \varrho_v$$
Ebbe a képletbe behelyettesítve a mért eredményeket, a következő oldalon található táblázatban foglalt eredményeket kaptam.\newpage
A mért adatok mellett az ideális folyadék sűrűségét is ki kell számolni, hiszen a mérés célja az, hogy az eltérést vizsgáljuk. Az ideális elegy sűrűségét a 
$$\varrho_{id}(x)=\varrho_a x+\varrho_v(1-x)$$
képlettel érdemes jellemezni, ahol az $x=V_a/(V_v+V_a)$, és a két folyadék térfogata ideális elegyek \mbox{e-} setében megegyezik a keverék térfogatával. Az alkohol sűrűségét az utolsó, tiszta alkoholt jellemző mérés adja meg, hiszen ott az ideális és a valós folyadék között nincs különbség. Ennek eredményeit, valamint az eltérést is táblázatba foglalva:\\
~\\
%\begin{sageblock}
%f(x)=x/10
%g(x)=x/100
%h(x)=((0.81000*(x/10))+(1*(1-(x/10))))
%\end{sageblock}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
alkohol/víz & mért sűrűség $[g/cm^3]$ & ideális sűrűség$[g/cm^3]$ & $\Delta \varrho$ \\
\hline
0:1 & \sage{N((10+f(0)+g(0))/(10+f(0)+g(0)),digits=4)} & \sage{N(h(0),digits=3)} & \sage{N(1.000-1.00,digits=3)}\\
\hline
1:9 & \sage{N((9 + f(9) + g(5)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(1),digits=3)}& \sage{N(0.995-0.981,digits=3)}\\
\hline
3:7 & \sage{N((9 + f(7) + g(0)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(3),digits=3)}& \sage{N(0.970-0.943,digits=3)}\\
\hline
1:1 & \sage{N((9 + f(3) + g(9)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(5),digits=3)}& \sage{N(0.939-0.905,digits=3)}\\
\hline
7:3 & \sage{N((8 + f(8) + g(9)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(7),digits=3)}& \sage{N(0.889-0.867,digits=3)}\\
\hline
9:1 & \sage{N((8 + f(4) + g(1)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(9),digits=3)}& \sage{N(0.841-0.829,digits=3)}\\
\hline
1:0 & \sage{N((8 + f(1) + g(0)) /(10+f(0)+g(0)),digits=3)} & \sage{N(h(10),digits=3)} & \sage{N(0.810-0.810,digits=3)}\\
\hline
\end{tabular}\\
~\\
A közlekedőedényeknél a $\varrho_e=\frac{h_v}{h_e}\varrho_v$ képletet használva, a víz sűrűségét a Mohr-Westphal eredményeinél használt $1 g/cm^3$-nek véve a táblázatban szereplő értékek jönnek ki.\\
Az alkohol sűrűsége eltér, tehát a Mohr-Westphal mérlegnél írt módon ismét ki kell számítani az ideális elegy sűrűségértékeit.\\
%\begin{sageblock}
%j(x,y)=(x-1.8)/(y-1.8)
%p(x)=((0.783*(x/10))+(1*(1-(x/10))))
%\end{sageblock}
~\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
alkohol/víz & mért sűrűség & ideális sűrűség & $\Delta \varrho$\\
\hline
0:1 & \cancel{0} & 1 & 0\\
\hline
1:9 & \sage{N(j(44.7,45.4),digits=3)} & \sage{N(p(1),digits=3)} & \sage{N(0.984-0.978,digits=3)}\\
\hline
3:7 & \sage{N(j(43.2,44.9),digits=3)} & \sage{N(p(3),digits=3)} & \sage{N(0.961-0.935,digits=3)}\\
\hline
1:1 & \sage{N(j(46.2,49.4),digits=3)} & \sage{N(p(5),digits=3)} & \sage{N(0.933-0.891,digits=3)}\\
\hline
7:3 & \sage{N(j(47.1,53.1),digits=3)} & \sage{N(p(7),digits=3)} & \sage{N(0.883-0.848,digits=3)}\\
\hline
9:1 & \sage{N(j(47.8,56.6),digits=3)} & \sage{N(p(9),digits=3)}& \sage{N(0.839-0.805,digits=3)}\\
\hline
1:0 & \sage{N(j(44,55.7),digits=3)} & \sage{N(p(10),digits=3)} & \sage{N(0.783-0.783,digits=3)}\\
\hline
\end{tabular}\\
~\\
A kapott eredményeket a következő oldalon ábrázoltam.\\
\newpage
\def\data{%MW adatok
0.0 0.000
0.1 0.0140
0.3 0.0270
0.5 0.0340
0.7 0.0220
0.9 0.0120
1 0.000
}

\def\datc{%KE adat
0.0 0
0.1 0.00600
0.3 0.0260
0.5 0.0420
0.7 0.0350
0.9 0.0340
1 0.000
}

\def\datt{%teszt
0.5 0.05
}
\newpage
\begin{pspicture}(0,20.2)(20,0)
{\psaxes[linewidth=0.04,ticksize=0.10583333cm,dx=1.8cm,dy=0.9cm,Dy=0.025,Dx=0.1]{->}(0,0)(0,0)(19,19)}
\listplot[plotstyle=dots,yunit=360cm,xunit=18cm,dotscale=1,linecolor=red]{\data}%rúd
\listplot[plotstyle=dots,yunit=360cm,xunit=18cm,dotscale=1,linecolor=blue]{\datc}%korong

  \uput[-90](9,-1){\textbf{$x$}}
  \rput{90}(-1.6,9.5){\textbf{$\Delta \varrho$ [$g/cm^3$]}}
  \uput[-90](9,-2){A piros pöttyök a Mohr-Westphal, a kék pöttyök a közlekedőedények eredményét jelzik.}
\end{pspicture}\\


\newpage
\subsection*{Diszkusszió:}
A két mérési módszer eredményei nagyon eltérnek egymástól, és az alkohol táblázati sűrűségéhez \mbox{viszonyítva} is igen nagy az eltérés, a számításaim eredménye itt látható\\


\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Módszer & mért sűrűség & táblázati sűrűség & \multicolumn{2}{c|}{eltérés}\\
\hline
Mohr-Westphal & 0.810 & 0.792 & \sage{N(0.810-0.792,digits=3)} &\sage{N((0.810-0.792)/0.00792,digits=3)}\%\\
\hline
Közlekedőedények & 0.783 & 0.792 & \sage{N(0.783-0.792,digits=3)} & \sage{N((0.783-0.792)/-0.00792,digits=3)}\%\\
\hline
\end{tabular}\\


Az eredmények érdekessége, hogy a két mérés nagyságrendileg ugyanannyira pontos, de az egyik többet, a másik kevesebbet mutat. A fölfelé való eltérés magyarázata \textit{(A Mohr-Westphal mérlegnél)} az lehet, hogy az alkoholt utólag kénytelen voltam ismét lemérni, mivel az első mérésre irreális eredményt kaptam, valószínűleg amiatt, hogy az alkohol nem volt tiszta. Így a második mérésemet elkapkodtam, így nem volt pontosan egyensúlyban. A közlekedőedények módszerével mért adat kisebb eltérést mutat, de a grafikonon látható, hogy a töményebb keverékeknél hasonló eltéréseket kaptam, így lehetséges, hogy itt az oldatok keveredtek. \\

Szerintem a Mohr-Westphal mérleg megbízhatóbb, ugyanis könnyebben tisztítható, és egyszerűbben észrevehető az irreális eredmény. Hátránya azonban, hogy sokkal könnyebben elállítódik.\\

A víz alkohol elegy eltérése, főleg a Mohr-Westphal eredményeit nézve Gauss-görbéhez hasonló. Tehát a legnagyobb eltérés az 1:1-es keveréknél van, így minél közelebb vagyunk ehhez, annál kevésbé ideális. Itt a relatív eltérés a Mohr-Westphalnál \sage{N(0.0340/0.00905,digits=4)}\% a közlekedőedényeknél \sage{N(0.0420/0.00891,digits=4)}\% , ezek ismeretében szerintem itt semmiképpen nem tekinthető ideális elegynek.\\

Ennek az anyagszerkezeti oka az lehet, hogy a vízmolekula kisebb mint az alkohol, így beférkőzik az alkohol közötti helyekre \textit{(mint például mák és bab összeöntésekor)}. Emellett H-kötések is kialakulnak.
%eredménytáblázat%!

\end{document}